Junto con la latitud y la longitud, esenciales para poder situar un punto en el globo terrestre, había una tercera cuestión que constituía un factor muy a tener en cuenta para la cartografía y la navegación. Jorge Juan Santacilia y Antonio de Ulloa se van a ver directamente implicados en él. A principios del siglo XVIII, no se conocía todavía las características del esferoide que representa la figura de nuestro planeta, discutiéndose muy vehementemente si era alargado o achatado en sus polos. Es decir, un esferoide prolato, algo parecido a la figura de un limón o, por el contrario, un esferoide oblato.
Newton, basándose en los estudios existentes sobre el movimiento del péndulo en diferentes lugares de la Tierra, llegó a la conclusión de que el radio de la Tierra en el Ecuador era 1/230 más largo que en los polos (1) . Con sus cálculos constituía el núcleo de la corriente inglesa opuesta a parte de los académicos franceses liderados por Cassini, de influencia cartesiana, que basándose en diferentes mediciones de un grado de meridiano en suelo francés afirmaban que el diámetro que unía a los polos era 1/95 más largo que el ecuatorial (2). En 1734, La Academia de Ciencias de París, decidida a dirimir de una vez por todas la cuestión, pidió ayuda a Luis XV para que financiara dos expediciones que midieran un grado de arco de meridiano en posiciones distantes del globo. Una debería ser mandada a latitudes lo más cercanas posible al círculo polar, se enviaría a Laponia, y la otra a latitudes cercanas al Ecuador. Obtenidas las dos mediciones, podrían compararse y determinar por fin la figura de la Tierra. La corriente inglesa tendría razón si el grado de meridiano en el norte fuera más extenso que el medido en el Sur (3), si fuera al contrario, serían los cartesianos los que habrían acertado.
Teniendo que pedir Francia permiso a la corona española para poder dirigir una expedición al Perú, el Consejo de Indias propone a Patiño que acompañen a los científicos franceses dos subbrigadiers guardamarinas españoles, alumnos destacados en ciencias que inmediatamente son ascendidos a tenientes de navío, Jorge Juan Santacilia y Antonio de Ulloa (Ver las órdenes Reales). Se ha de tener en cuenta que en las escuelas de la Armada las asignaturas de astronomía y matemáticas se imparten con gran rigor, siguiendo el modelo francés. Ambos marinos embarcarán en sendos navíos de guerra que les conducirán a Cartagena de Indias, donde esperarán a los expedicionarios franceses para iniciar el viaje a Quito.
(1) Jean Richer había sido enviado a la isla Cayena en en La Guayana francesa para observar a Marte, cerca de la línea ecuatorial, en 1671. Allí descubrió que su péndulo oscilaba más despacio por unidad de tiempo que en París. Esta observación causó bastante revuelo, pero fue corroborada por otros científicos. Newton pensó que el peso del péndulo tenía que ser más ligero en el ecuador, aunque la masa fuese idéntica. Atribuyó esta ligereza al efecto de una mayor fuerza centrífuga ejercida por la rotación de la Tierra en comparación con la que se ejerce en latitudes más septentrionales. Como necesariamente se había de guardar un equilibrio en el conjunto de la masa de la Tierra entre las fuerzas centrífugas y las de atracción hacia el centro del planeta, éste no puede prolato, ni siquiera perfectamente esférico, sino achatado por los polos.
(2) En Francia la unidad de medida principal era la toesa, seis pies de Rey, equivalente a 1,94 metros. Las mediciones principales efectuadas fueron las siguientes : M. Picard (París – Amiens), es decir grado al norte de París, 57060 toesas. M. Cassini, padre (París – Colibre), al sur de París, 57097. El grado sur resultaba mayor que el grado norte para la misma variación en la observación de la altura meridiana de las estrellas. Para conservar esa variación el grado norte, más corto, debía ser necesariamente más curvo, haciendo que el ángulo con respecto al horizonte cambiase a menor distancia recorrida que en el otro grado. Con estas medidas y observaciones, Cassini argumentaba que Tierra no era achatada por los polos, sino por el ecuador. M. Cassini, hijo repitió la medición de Picard, prolongándola hasta Dunkerke. El grado norte de París le resultó de 56960, apoyando los postulados de su padre, contrarios a los de Newton.
(3) Teniendo en cuenta que tratamos con un cuerpo elipsoide, no una esfera, con diferentes grados de curvatura.